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Google面试题 | 不包含连续1的非负整数

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题目描述:
给定一个正整数n,求出0到n中有几个数满足其二进制表示不包含连续的1。1<=n<=10^9。

样例:

输入:5
输出:5
说明:0到5的二进制表示分别为:
0 : 0
1 : 1
2 : 10
3 : 11
4 : 100
5 : 101
这六个数中,只有3的二进制表示包含有连续的1,故答案为5。

解题思路分析

暴力方法:枚举0到n,判断其二进制是否包含连续的1,时间复杂度为O(n*log(n)),对于题目的n的范围来说比较大。

考虑一种比较简单的情况,如果n=2^k - 1,其中k为正整数,那么问题就变成二进制数00……0(k个0)到11……1(k个1)中有几个数不包含连续的1,设答案为f(k)。

我们可以考虑k位二进制数的第一位:如果第一位是0,那么第二位既可以取0也可以取1,也就是说对后面的k-1位无影响,所以第一位为0的满足条件的数总共有f(k-1)个;如果第一位是1,那么由于不能出现连续的1,第二位只能取0,但是对后面的k-2位无影响,所以第一位为1的满足条件的数总共有f(k-2)个。

这样,我们就得到了:f(k) = f(k-1) + f(k-2)。边界条件为f(1)=2以及f(2)=3,由于f(0)=1满足原问题的题意也满足上述的转移方程,故可以取边界条件f(0)=1,f(1)=2。

对于n不是2^k-1的一般情况,与上一点的不同之处在于:上一点中只要满足二进制位长度不超过k,那么这个数就不会超过n=2^k - 1,而这种情况需要具体考虑不超过n的数。

假设n的二进制有k位,最高位为1,其二进制为1xx……x(x表示0或1),那么0到n可分为00……0(k个0)到011……1(一个0,k-1个1)和100……0(一个1,k-1个0)到1xx……x(即n)两个部分。

前一个部分即0到2^(k-1)-1,这部分中满足条件的答案为f(k-1);第二部分则需进一步讨论:如果n的二进制从左往右第二位为1,即n的形式为11x……x,那么因为题目要求不能有连续的1,所以这一位只能取0,这样的数一定小于n,所以后k-2位不受大小的限制,答案为f(k-2),并结束计算;如果n的二进制从左往右第二位为0,即n的形式为10x……x,那么为满足不超过n的条件,第二位也只能取0,这样问题就变为从100……0到10x……x之间有多少满足条件的数,这样就可以继续对n的二进制的后k-2位进一步进行类似的讨论。

举个例子,n=10,二进制为1010:

对于最高位的1,我们将0到1010分为0到111和1000到1010两部分,前一部分的个数为f(3) = 5。

第二部分为1000到1010,最高位确定取1,而n的二进制从左往右第二位为0,为满足不超过n的条件,满足条件的数从左往右第二位只能取0。

n的二进制从左往右第三位为1,这样我们又可以按i中的方法,把1000到1010再次分成1000到1001和1010两个部分,前一部分的个数为f(1) = 2。

到n的最低位,为0,故最后一位只能取0,按照之前的算法这一步不会增加答案,但由于n=1010b本身还没有计入,故再加1。

最后得到答案5+2+1=8。

n的二进制长度为log(n),故该算法的时间复杂度为O(log(n))。

参考程序:

Non-negative Integers Without Consecutive Ones

面试官角度分析:

这道题考察位运算的基本知识和动态规划的思想,难点在于如何原本的逐个统计问题通过二进制分类统计,属于面试中中等难度的题目。给出正确的解法可以达到hire。

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